在 2017 年内，SAT 数学总共进行了 12 次考试，虽说难度称不上有多高，但仍不乏难题。下面就依据几个考试重点难点对整个一年的数学题目来一次大盘点。1. 线性关系的意义两个变量间若存在一次函数 y=kx+b （k 为非零常数，b 为任意常数）的关系，则两者呈线性关系。根据官方指南，一次函数、方程、不等式等组成了 Heart of Algebra 模块，是 SAT 数学考试的重点，题量在总共 58 题中占到 1/3 以上。这一模块中大部分题目并不难，但是有一类问题会带来一些挑战：这些题目考察的是线性关系在实际应用中所体现出的意义，它们往往不涉及复杂计算，却要求同学们十分熟悉线性关系的性质，并将其同题目选项中的文字或是图表联系起来。1.1 线性关系的核心性质：自变量每增加一定量，因变量便会增加一个固定量。换言之，因变量的增加量与自变量的增加量这两者间的比值是一个非零常数，而此常数便是斜率。1.2 线性关系的实际意义：在 y=kx+b 中，斜率 k 的实际意义是指 x 每增加 1 时 y 所增加的量；斜率倒数 1/k 的实际意义是指 y 每增加 1 时 x 所增加的量；截距 b 的实际意义是指 x=0 时 y 所取的值。下面就来看几道出现于 2017 考试的例题：1701 INT.3.11这题问的是斜率的意义，因此根据 1.2 及题中自变量及因变量各自所指，答案就是 A。1701 NA.4.21这题问的是斜率的意义，即每过 1 年（x 每增加 1），y 所增加的量。这里需要特别注意的是，图中 y 轴指的是年产量，因此 y 的增量指的是“年产量的增加量”，答案也就是 D。有不少同学会选 C，就是由于没弄清楚 y 轴所指为何。1703 NA.4.24这题问的是斜率的意义，因此根据 1.1 及题中自变量及因变量各自所指，答案就是 C。1705 NA.4.29这题四个选项考察的都是斜率 -1/175 的意义，这指的是每过 1 年（t 每增加 1），金字塔高度 h 会减少 1/175 英尺，等比例地，每过 1750 年，高度会减少 10 英尺，因此答案为 A。1706 NA.4.18这题问的是斜率的意义，因此根据 1.2 及题中自变量及因变量各自所指，并特别留意变量 x 的单位，答案为 C。1705 NA.4.19这题问的是截距的意义，因此根据 1.2 及题中自变量及因变量各自所指，答案就是 C。1705 INT.4.13首先要明白趋势线所代表的只是一个大概的估计，而这题问的是线性趋势线斜率的意义，因此根据 1.2 及题中自变量及因变量各自所指，答案就是 B。2017 年之前的 OG 练习题及真题中，考察线性关系意义的题目平均每套卷子出现 1.7次，而在 2017 年的真题中，此类题目平均每套卷子出现至少 1.6 次。2. 指数关系的意义两个变量间若存在指数函数 y=bax/c（b为非零常数，a 为非 1 的正常数，c 为正常数）的关系，则两者呈指数关系。根据官方指南，指数函数、二次函数和方程、多项式及函数的表示和变换组成了 Passport to Advanced Mathematics 模块，平均每次考试中，题量在总共 58 题中占 12 题左右。类似于一次函数的题目，许多指数函数的题目考察的是指数关系在实际应用中所体现出的意义，它们往往不涉及复杂计算，却要求同学们十分熟悉指数关系的性质，并将其同题目选项中的文字或是图表联系起来。而相对于一次函数而言，指数函数更为复杂，同学们也更不熟悉，因此算得上是一个难点，做错的会比较多。2.1 指数关系的核心性质：自变量每增加一定量，因变量便会乘以一个固定倍数，或者说，因变量便会增加一个固定百分比的增长率。2.2 指数关系的实际意义：y=bax/c 中，截距 b 的实际意义是指 x=0 时 y 所取的值；底数 a 的实际意义是指 x 每增加 c 时 y 所乘的倍数。特别地，c=1 时，即 y=bax 中，a 指的是 x 每增加 1 时 y 所乘的倍数。2.3 倍数与增长率的关系：一个量乘以 M 倍，相当于增加了 (M-1)*100%。即增长率=倍数-1，反之，倍数=增长率+1。下面就来看几道出现于 2017 考试的例题：1705 INT.4.25BCD 三个选项中描述的场景都符合 1.1，因此都是线性关系。而 A 中描述的场景符合 2.1，因此是指数关系，为正确答案。1701 NA.4.29此题乍一看，描述的场景似乎符合 2.1，为指数关系，然而细看之下，题意指的是每过 20 分钟，复印机消耗的纸量为一开始数量的 30%，即 5000*30%=1500，是个固定的量，因此这题符合 1.1，为线性关系，答案就是 B。这里需要特别指出的是，在指数关系里，自变量每增加一定量，因变量增加的是当前值的一个固定百分比，不是某个常数的百分比，而我们通常将“增加减少了当前值的百分之多少”直接称为“增加减少了百分之多少”。比如说 “GDP 每年增长 6%”指的就是“GDP 每年增长上一年的 6%”。1701 INT.3.6这题问的是截距的意义，因此根据 2.2 及题中自变量及因变量各自所指，答案就是 A。1711 NA.3.18这题问的是截距的意义，因此根据 2.2 ，答案就是 5。1712 INT.3.13这题问的是底数的意义，因此根据 2.2 及题中自变量及因变量各自所指，每过 1 年（t 每增加 1），水豚数量 P 会乘以 1.025 倍，而依据 2.3，这也就是指增加 2.5%，答案就是 C。1706 NA.4.29这题涉及底数的意义及倍数与增长率的关系。根据 2.2，当前价格为 25.25，因此p=bat/c 中，b=25.25；之后价格每 1 年（t 每增加 1）会增长 4%，即乘以 1+4%=1.04 倍，因此 c=1，a=1.04；所以答案就是 C。B 选项意味着价格每 1 年（t 每增加1）会乘以 0.04倍，即增长 0.04-1=-96%，即降低 96%，不符合题意。1708 NA.4.30这题考察的是对于整个指数函数式子实际意义的理解。根据 2.2，当前订阅人数为 1000，因此 N(t)=bat/c中，b=1000；之后订阅人数每 1/2 年（t 每增加 1/2，即每 6 个月）会乘以 3 倍，因此 c=1/2，a=3；所以答案就是 C。B 选项意味着订阅人数每 1 年（t 每增加 1）会乘以 3 倍；而 D 选项意味着订阅人数每 6 年（t 每增加 6）会乘以 3 倍，皆不符合题意。1705 NA.4.30这题考察的是对于整个指数函数式子实际意义的理解。根据 2.2，当前细菌数量为 75，因此 n=bat/c 中，b=75；之后细菌数量每 3/10 小时（t 每增加 3/10，即每 18 分钟）会乘以 2 倍，因此 c=3/10，a=2；所以答案就是 C。A 选项意味着细菌数量每 18 小时（t 每增加 18）会乘以 2 倍，不符合题意。这题需要特别注意的就是单位问题。1701 NA.4.23这题考察的是对于整个指数函数式子实际意义的理解。根据 2.2，原式的意义指会员人数每 1 年（t 每增加 1）会乘以 1.02 倍，而选项 A 中式子的意义指会员人数每 4 个季度（q 每增加 4，即每 1 年）会乘以 1.02 倍，与原式一致，因此为正确答案。选项 B 意味着会员人数每 1/4 个季度（q 每增加 1/4）会乘以 1.02 倍，即每 1 年会乘以 1.02^16=1.373 倍；选项 C 意味着会员人数每 1/4 个季度（q 每增加 1/4）会乘以1.005倍，即每1年会乘以 1.005^16=1.083 倍；选项 D 意味着会员人数每 1 个季度（q 每增加 1）会乘以 1.082 倍，即每 1 年会乘以 1.082^4=1.371 倍，皆异于原式。1706 NA.3.20这题考察的是对于整个指数函数式子实际意义的理解以及倍数与增长率的关系。根据 2.2，原式的意义指价值每 12 个月（n 每增加 12，即每 1 年）会乘以 0.66 倍，即增长 0.66-1=-34%，即减少 34%，所以答案 x=34。2017 年之前的 OG 练习题及真题中，考察指数关系意义的题目平均每套卷子出现 1.1次，而在 2017 年的真题中，此类题目平均每套卷子出现至少 1 次。虽然数量上未见增长，但是难度却有不小提升，上述末三题都对许多学生造成了不小的困扰。3. 二次函数的意义Passport to Advanced Mathematics 模块中，二次函数也是一个考点。其涉及函数性质、图像及方程的题目往往并不难，但类似于一次及指数函数，有一类二次函数的题目考察的是二次函数的实际应用，它们往往不涉及复杂计算，却要求同学们十分熟悉二次函数不同形式在应用题中体现出的实际意义。有不少同学对于这一块不是很熟悉。3.1 在二次函数一般式 y=ax2+bx+c 中，参数 c 为截距或 y 截距，有实际意义：当 x=0 时 y 的值。3.2 在二次函数交点式（两根式） y=a(x-x1)2(x-x2)2 中，参数 x1 和 x2 为 x 截距或零点，有实际意义：当 y=0 时 x 的值。3.3 在二次函数顶点式 y=a(x-s)2+h 中，参数 s 和 h 确定图像抛物线的顶点，有实际意义：当 x=s 时 y 取最值 h。（以上 a 皆为非零常数）下面就来看几道出现于 2017 考试的例题：1710 INT.3.10 这题问的是截距的意义，因此根据 3.1 及题中自变量及因变量各自所指 ，答案就是 D。1710 NA.4.26这题问的是 x 截距的意义，因此根据 3.2 及题中自变量及因变量各自所指 ，答案就是 D。1710 NA.4.28这题问的是一般式的意义，因此根据 3.1，答案就是 C。1708 NA.4.28这题虽然涉及的不是二次函数而是一次函数，但问的还是 x 截距的意义，这在任何函数中都是一样的，因此根据 3.2 及题中自变量及因变量各自所指 ，答案就是 D。1705 NA.4.8可以观察出题目中给出的这个式子中 x 是 y 的二次函数（而非常见的 y 为 x 的二次函数），因此题意要求体现出 x 截距，便是将原式转化成一般式的样子，答案就是 A。2017 年之前的 OG 练习题及真题中，考察二次函数意义的题目平均每套卷子出现 0.4 次，而在 2017 年的真题中，此类题目平均每套卷子出现至少 0.4 次。上述末一题可能会造成稍大的困扰。4. 多项式Passport to Advanced Mathematics 模块中，多项式也是一个考点，它涉及多项式的零点、因式，余数定理、图像性质等概念。虽然关于多项式的考题出现的次数相对不多，但由于多项式在中学数学课本中探讨较少，因此它们往往也会带来不小挑战。4.1 零点与因式的关系：常数 c 为多项式 f(x) 的一个零点（即 x=c 时，f(x)=0），等价于，x-c 为 f(x) 的一个因式。4.2 多项式函数 y=f(x) 图像与x轴的交点：(x-c)n 为 f(x) 的一个因式（n 为正整数），若 n 为奇数，则函数图象会与 x 轴相交于 (c,0) 点并穿过 x 轴；若 n 为偶数，则函数图象会与 x 轴相交于 (c,0) 点却不穿过 x 轴；另外当 n>1 时，则函数图像与 x 轴实际是相切于 (c,0) 点。4.3 多项式函数 y=f(x) 的极限：若多项式最高次项系数为正，则当 x 趋向正无穷时，y 趋向正无穷，图像右端向上；若多项式最高次项系数为负，则当 x 趋向正无穷时，y 趋向负无穷，图像右端向下。若多项式最高次数为偶数，则当 x 分别趋向正负无穷时，y 分别趋向符号相同的无穷，图像左右两端同向；若多项式最高次数为奇数，则当 x 分别趋向正负无穷时，y 分别趋向符号相反的无穷，图像左右两端异向。4.4 多项式余数定理：多项式 f(x) 除以 x-a （c 为任意实常数）的余数为 f(c)。下面就来看几道出现于 2017 考试的例题：1710 INT.3.13根据 4.2，可判断出正确答案为 B。1701 NA.3.11根据 4.2，可判断出正确答案为 B。1701 INT.4.22根据 4.2，可判断出正确答案为 B。1703 NA.3.11根据 4.2 及 4.3，可判断出正确答案为 B。1703 NA.4.22根据 4.2 及 4.3，可判断出正确答案为 B。1705 NA.4.22根据 4.1，可判断出正确答案为 D。1705 INT.4.24根据 4.1，可判断出正确答案为 C。2017 年之前的 OG 练习题及真题中，考察多项式的题目平均每套卷子出现 0.9 次，其中 OG1 中出现了一题涉及 4.4；而在 2017 年的真题中，此类题目平均每套卷子出现至少0.7次，虽然没有考到 4.4，但涉及上述 4.2 及 4.3 的题目却也不简单，有不少同学折戟于此。5. 统计量除了 Heart of Algebra 以及 Passport to Advanced Mathematics 以外，SAT 数学还有另一大模块：Problem Solving and Data Analysis，平均每次考试中，其题量在总共 58 题中占 17 题左右。此模块首先就要求同学们会定量计算平均数、中位数、众数、极差这 4 个统计量，并能定性理解标准差这个统计量的意义以及离群值或极端值对平均数、中位数的影响。5.1 平均数十分易受离群值或极端值的影响，使其显著大于或小于中位数。5.2 样本观察值分布越集中于样本平均值附近，则样本标准差越小；样本观察值分布越离散于样本平均值开外，则样本标准差越大。5.3 对每个样本观察值同时加一个相同的实常数，组成一组新的样本。则平均数、中位数及众数三个统计量也会相同地变换，而极差和标准差这两个统计量不变。下面就来看几道出现于 2017 考试的例题：1701 INT.4.10根据 5.3，答案为 D。1701 NA.4.17易知众数为 18，是最小的。又根据 5.1，可判断平均数大于中位数。答案为 A。1701 NA.4.28易知两组数据极差皆为 32。又根据 5.2，可判断第一组数据的标准差更小。答案为 D。1706 NA.4.23将离群值 12 移除，易知平均数会显著变大，而中位数不变。答案为 C。1708 NA.4.7根据 5.1，答案为 D。1711 NA.4.17根据 5.1，答案为 B。1710 NA.4.22易知答案为 B。2017 年之前的 OG 练习题及真题中，涉及统计量上述3条性质的题目平均每套卷子出现 0.4 次；而在 2017 年的真题中，此类题目平均每套卷子出现至少 0.7 次，有显著增加。6. 统计推论Problem Solving and Data Analysis 另有一类题目涉及到统计结论的得出及推广。这类题目不涉及计算，仅考概念，但由于绝大部分学生在课堂上都没接触过相关内容，因此特别容易做错。6.1 实验性研究中，若要得到有效的因果结论，处理必须是随机分配给各个实验对象的；换言之，实验组和对照组必须是随机分配出来的。若不满足这个条件，则无法得到有效的因果性结论，仅能得到关联性结论。6.2 观察性研究无法得出因果性结论，但能得出关联性结论。6.3 在任何抽样研究中，若要将研究结果推广至某个整体，样本必须是从这个整体中随机抽选出来的。若不满足这个条件，该样本则无法代表此整体。6.4 一组随机样本的均值为 x，在一定置信水平上，其边际误差为 e，意味着可以估计总体均值会处于 [x-e,x+e] 这个区间内。6.5 一般来说，在一定置信水平上，同一个整体的两组随机样本中，样本量更大的样本其统计量的边际误差会更小。6.6 一般来说，在一定置信水平上，同一个整体的两组随机样本中，样本标准差更大的样本其统计量的边际误差会更大。下面就来看几道出现于 2017 考试的例题：1701 INT 4.9根据 6.3，答案为 D。1706 NA.4.6根据 6.3，答案为 D。1710 NA.4.23根据 6.3，答案为 B。1701 NA.4.26根据 6.3，样本是在特定地点抽选出来的，因此不能代表整个社区，答案为 C。1705 INT.4.10根据 6.3，样本是在特定地点抽选出来的，因此不能代表整个社区，答案为 C。1708 NA.4.2根据 6.3，答案为 B。1703 NA.4.4根据 6.3，样本是从该校英语专业学生中随机抽选出来的，因此样本结论只能推广到本校英语专业学生这个整体上，答案为 D。1712 INT.4.30该研究为观察性研究，因此根据 6.2，答案为 D。1705 NA.4.14该研究为观察性研究，样本随机抽选自无病史的男性，因此根据 6.2 及 6.3，答案为 D。1708 NA.4.9根据 6.4，答案为 C。1705 NA.4.25根据 6.4，该调查表明，可以估计所有投票人群中，投赞成票的占比会落在 47.6% 至 53.6% 之间，即可能过半，也可能不过半，所以答案为 D。1712 INT.4.27根据 6.5，答案为 A。1711 NA.4.20此题中研究者没有做好控制变量的实验设计，因此答案为 D。2017 年之前的 OG 练习题及真题中，涉及统计推论上述几条性质的题目平均每套卷子出现 0.9 次；而在 2017 年的真题中，此类题目平均每套卷子出现至少 1.3 次，有显著增加，其中 6.5 首次考到。7. 总结SAT数学中部分题目之所以称得上是难题，主要有三个原因：一，由于其中涉及到的数学意义不容易透彻理解，同学们难以掌握；二，由于其中涉及的数学概念不常见，同学们在准备时易忽略；三，由于题目中的文字表述或图表对于部分中国学生会有理解上的挑战。而从总体来看，2017 年的数学真题中：1. 在考察一次函数实际意义的题目中，有 2 题的难度稍稍偏高，原因在于上述之三；2. 在考察指数函数实际意义的题目中，有 3 题的难度显著偏高，原因在于上述之一；3. 在考察二次函数实际意义的题目中，有 1 题的难度稍稍偏高，原因在于上述之二；4. 在考察多项式的题目中，有 4 题的难度稍稍偏高，原因在于上述之二；5. 在考察统计推论的题目中，有 4 题的难度稍稍偏高，原因在于上述之二。相较于最初的 4 套官方指南练习题及 2016 年的真题，2017 年的数学真题中有几个值得留意的趋势：1. 考察指数函数实际意义的题目难度有所显著增高；2. 考察二次函数实际意义的题目难度稍有增高；3. 考察多项式的题目难度有不小增高；4. 考察统计量性质以及统计推论的题目数量有显著上升，难度也有不小增高。出现了更多更难一点的题目，这也导致了今年个别考试中出现了错一题也能拿满分的现象。上述趋势也告诉我们，在备考来年的 SAT 数学时，应该花更多时间在指数函数的意义、多项式及统计推论这三个方面。其中指数函数的意义在理解上会更难以掌握；而多项式和统计推论则更偏向对概念的知晓熟悉，其理解起来并不十分困难。最后不得不再强调一下官方指南对于准备 SAT 数学的指导意义。在此书中，关于函数的部分明确列出了渐近线、函数奇偶性等几个至今尚未考过的概念；关于统计推论的部分则用大篇幅解释了上述 5.1、6.1至6.6等大部分学生不熟悉的性质，其中 6.5 在 2017年 12 月首次考到，而 6.6 仍未考到过。这些或许能为我们窥见来年 SAT 数学真题提供一个窗口。未完待续本文为沃邦SAT教研组编写，禁止抄袭。关注“沃邦教育”官方微信（ionebest），获取更多SAT、托福等考试信息以及留学资讯。