好吧我承认有点标题党了。本笔记不作具体公式推导、概念阐述及定理推导，这些都在任何一本教材说的非常到位和清楚了。如果你不懂微积分，又没啥基础的，你可以把这个系列的笔记当玄幻小说看。如果你学完了微积分，但总觉得有很多概念不踏实，你可以把这个系列的笔记当打通任督二脉的易筋经看。无极生太极，太极生两仪，之后四象五行八卦。道的思想，在微积分中是有体现的。这点，从我来讲，可以认为是贯穿整个微积分的。阴阳之说，又可以理解为辩证统一，在微积分上，微和积两个概念很好的体现了这点。这是宇宙运行规律在各个文化，各个学科中的具象体现。在道家，是阴阳，在物理，是守恒，在信号与系统，是卷积。这篇，就从辩证的角度，或者带上点阴阳，看一元函数的微积分。1 启微积分可以分成三个部分，一元函数微积分多元函数微积分级数这三部分比较独立。一元函数微积分，显然讲的是y=f(x)的范围。多元函数复杂一点，z=f(x,y)或者u=f(x,y,z)，还有矢量函数。级数相对于前两部分都比较独立。前两部分是讨论什么是好函数（关于“好函数”，看之前的开篇）。级数讨论的是，万一你碰到了坏函数，怎么用好函数代替。如果你的专业是电路之类的，看完一元函数微积分就够了，电路大多数是u(t) i(t)，都是一元函数中的概念。再加上级数。没必要上多元函数。多元函数由于多元，还引入了向量。看起来比一元要费力不少。2 一元函数中的四大部一般教材，在一元函数微积分部分，会安排四大章节基本概念：极限，连续微分学：导数，微分积分学：定积分，不定积分，牛顿莱布尼兹微分方程：一阶常系数线性四大章节循序渐进，按部就班，是非常符合逻辑的。只要抓住“一个中心两个基本点”。以“好函数为中心”，以“微观”和“宏观”两个基本点，考察中学学到的基本初等函数。3 起篇，好函数第一部分，基本概念，定义了什么是好函数。好函数就是光滑的函数。所谓光滑，就是不折不断。如下的两个函数，一个断，一个折，都不是光滑的好函数。但数学是严谨的，要用数学的语言严格定义什么是断什么是折。第一部分，通过连续，定义了什么不断。不折，这个概念，在第二部分中通过导数定义。4 矛盾的对立统一有了好函数，于是第二和第三部分，就是从微观和宏观两个方面看这个好函数。在微观方面，有微分，在宏观方面，有积分。微分和积分，是好函数这个矛盾体的两个方面，就像阴阳。如果微分中有一个定理，或者公式，在积分中，必然有对应体！切记所以，学习微积分，背定理，背公式，不能分开了背。要前后对照，融会贯通，举几个例子。微分中值定理。如果可导，必有切线平行于端线AB。它对应的是积分中值定理如果连续，必有均线使得长方形面积和曲边形面积相等。乍一看，似乎没有联系，但是把这两个公式放在一起，是不是长得一样？一对孪生兄弟？上面是用牛顿莱布尼兹公式稍微修饰了一下的微分中值定理，下面是积分中值定理。它们俩都是描述曲线的两个端点，有没有发现！只要一条光滑曲线定了两个端点，那么必然有可以确定两条线——切线和均线。细品！两个中值定理描述的是一件事，只不过从两个方面描述而已。这反映出，微分和积分是对立统一的。两个端点定积分这个事情，从高维度的微积分统一公式看，又是另一种风景！以后再表。这两个端点，有点像黑白无常俩，我有时候细品之下，还是有点慎得慌的。微分，是从局部的角度。局部的角度，就是做差值，回想导数的定义！再联想导数的几何意义，是不是切线？导数—切线—局部—微分！积分，是从整体的角度。所谓整体，就是累积，就是加法。所以积分的定义，本质上就是一个和式，具体来讲，就是一个加权和的极限。微积分，学的其实是加减法。有没有？噱微岔开一下，看看积分的数学意义。几何意义就不看了，每本教材都说到，曲边梯形的面积。在数学上，积分和式可以看成加权和。每个累加项delta x加了权重f(..)后的代数和。整个和式也可以看成矩阵乘法。所以，归根结底，积分，可以看作是加法——加权和！再岔开一下，你觉得，我们小学学的那个乘法，九九乘法表，是不是加权和呢？什么是12*3？可不可以认为是3在十位的权重，加上3在个位的权重？细品！再来看一个例子，不定积分求解方法中，有一个叫部分积分法，很是难搞对不对？跟导数公式放在一起对比一下，你自己看，有没有看出什么门道？没看出的继续看，看出来的可以接着对比换元法和链式求导法则用导数公式去理解和记忆不定积分的两个方法，是不是事半功倍？如果你悟通了这点，接下去自然而然的问题就是，还有没有其他的不定积分的求解方法？hoho，没有了。如果有的话，微分那边必然有对应公式，可惜，那边没有了，这边也肯定没有了！5 尾说了这么多，形而下来讲，第二部分和第三部分的学习，即微分学和积分学的学习，一定要前后对比着看，找出各个定理在两个部分的对应条款，对应公式，甚至于推导过程都要一一找出对应点。这样才能融会贯通！形而上来讲，一元函数微积分就是对立统一这个辩证思想的数学体现。对立，是微和分的对立，统一，是它们描述对象的统一，统一在那条曲线！微积分就是看曲线的，至少到现在为止！考察的都是曲线！微分中的泰勒展开就是用二次项替换曲线的局部有没有？导数和二阶导数考察的就是曲线的极值和拐点有没有？积分求的是不均匀直棒质量，啥是不均匀？曲线是不是？变力作功，啥是变力？可以图像化成曲线是不是？光滑曲线的局部和整体——微积分！细品！一元函数微积分的中心点就是光滑什么是光滑？连续+可导光滑了，局部有什么特质？可微，有切线平行于端线。光滑了，整体有什么特性？有均线，可平均合起来看？牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式是一元函数微积分的终点，是微分和积分这对矛盾的统一表示，是阴阳的合体！从这个学科本身来讲，到牛顿莱布尼兹公式就ok了。但考虑到跟后面专业课程的衔接，所以特别加了微分方程。微分方程和自然数e有着千丝万缕的联系，放到下一篇讲了。6 下篇预告下一篇打算讲讲这个自然数e。先来点预告，抛点问题pi好理解，圆周率，e是啥？一个数？咋来的？一般人为啥到处看得到pi，却到处看不到e？为啥学了微积分能到处看到e？为啥学了专业课还逃不掉e？RCL电路有e对不对？阻尼弹簧减震有e对不对？放射性衰变有e对不对？傅里叶变换还tmd有e有没有？终极大招，还有那个网红传疯了的欧拉公式，认得每个字母，但又看不懂，也有e是不是？来一张欧拉的死亡凝视，喘口气还记得一开始我说的吗？无极生太极，太极生两仪，之后四象五行八卦。你看到这么多e，可想，e必然是宇宙某个终极规律的体现，那个规律在背后运作，在各个领域的表现，通过e告诉你它的存在和行为方式！下一篇揭示那个背后的宇宙规律ps，不要把欧拉想的这么邪恶，他是真理的引路人